不同误差影响模型下总体最小二乘法在多元线性回归中的应用研究
  • 【摘要】

    测绘学科在对测量数据进行处理过程中需要采用大量的函数模型,而这些函数模型最为常见的是以线性回归模型的方式呈现。线性回归问题的主要任务是回归系数的解算,通常是采用经典的最小二乘法进行求解。然而,在使用最小二乘求解回归系数过程中,大部分学者只顾及观测向量中包含误差的情况,对于线性回归模型误差方程的系数矩阵带有的误差却不予关注,或者人为地将其忽略,这将导致最小二乘法的平差结果失真。总体最小二乘法的提出,... 展开>>测绘学科在对测量数据进行处理过程中需要采用大量的函数模型,而这些函数模型最为常见的是以线性回归模型的方式呈现。线性回归问题的主要任务是回归系数的解算,通常是采用经典的最小二乘法进行求解。然而,在使用最小二乘求解回归系数过程中,大部分学者只顾及观测向量中包含误差的情况,对于线性回归模型误差方程的系数矩阵带有的误差却不予关注,或者人为地将其忽略,这将导致最小二乘法的平差结果失真。总体最小二乘法的提出,解决了观测向量和系数阵中的误差不能兼顾的问题。随着这一理论的不断发展和深入,它在电力系统、医学、生物学、统计学、图形学等领域得到了广泛的应用。同时,它在测绘学科也受到了越来越多学者的关注。
      针对观测向量和系数矩阵同时含有随机误差的情形,目前众多学者主要利用总体最小二乘法对一元线性回归模型进行了研究,也仅通过某些特例得出此方法法比最小二乘法具有更小的单位权中误差和较接近真值的平差值等类似结论。然而,采用总体最小二乘法对多元线性回归的研究案例还比较少,并且使用这种方法研究多元线性回归模型是否能够得到与一元情况类似的结论也未可知。因此,有必要进一步对总体最小二乘多元线性回归进行研究,进而为扩展总体最小二乘法的适用范围提供依据。
      本文在总体最小二乘法算法已有研究成果的基础上,对于总体最小二乘法在多元线性回归中的应用进行了研究。分析了三种误差影响模型:1.EIV(Errors-in-variables)模型(即观测向量和系数矩阵均包含随机误差的模型);2.EIVO(Errors-in-variables-only)模型(即只有系数矩阵包含随机误差的模型);3.EIOO(Errors-in-observations-only)模型(即只有观测向量包含随机误差的模型)的异同点,并用1~5元线性回归的具体算例给出了说明。本文还采用仿真实验的方法,以具有不同观测值数量和不同误差分布的1~5元线性回归算例为例,讨论了在三种误差影响模型下总体最小二乘法与最小二乘法的相对有效性,进而确定出应用于多元线性回归模型中相对更为有效的参数估计方法。
      本文的研究表明,仿真实验中总体最小二乘法的平差结果不稳定,并且普遍存在估值漂移现象,而最小二乘法的平差结果却相对稳定且一般情况下不存在估值漂移现象,且从统计上讲,总体最小二乘法出现估值漂移现象的次数比最小二乘法更多、估值漂移的程度更大。总体而言,对于EIV、EIVO、EIOO三种误差影响模型,总体最小二乘法的残余真误差均方误差都大于最小二乘法的残余真误差均方误差,这表明总体最小二乘法不如最小二乘法更有效。在1~5元线性回归中,相对而言,最小二乘法的结果比总体最小二乘法的结果更可靠,在应用总体最小二乘法时需要考虑其估值漂移现象,否则可能产生难以预见的后果。 收起<<

  • 【作者】

    董巧玲 

  • 【学科专业】

    测绘科学与技术

  • 【授予学位】

    硕士

  • 【授予单位】

    太原理工大学

  • 【导师姓名】

    葛永慧

  • 【学位年度】

    2016

  • 【语种】

    chi

  • 【关键词】

    最小二乘法  多元线性回归  估值漂移  误差模型  测量数据