分数Fourier变换及分数Hankel变换和准离散Hankel变换的研究
  • 【摘要】

    摘要 FOURIER变换(FT)和HANKEL变换(HT)是19世纪末发展的数学工具,它们在物理学和其它科学技术领域得到相当广泛的应用〓.其中以FOURIER变换尤为突出,因为FOURIER变换的核为复指数函数,具有许多很好的性质.几乎在一个世纪之后, NAMIAS为了提供求解量子力学中薛定谔方程新途径,于80年提出了一个更大的数学框架----分数FOURIER变换〓,经典意义的FOURIER变换... 展开>>摘要 FOURIER变换(FT)和HANKEL变换(HT)是19世纪末发展的数学工具,它们在物理学和其它科学技术领域得到相当广泛的应用〓.其中以FOURIER变换尤为突出,因为FOURIER变换的核为复指数函数,具有许多很好的性质.几乎在一个世纪之后, NAMIAS为了提供求解量子力学中薛定谔方程新途径,于80年提出了一个更大的数学框架----分数FOURIER变换〓,经典意义的FOURIER变换只是这个框架中的一个特例,NAMIAS的做法是纯粹抽象的,因此作为一种新的数学工具,分数FOURIER变换(FRFT)并未有任何具体的物理意义,87年MCBRIDE和KERR〓从数学角度完善了NAMIAS的概念,MENDOLVIC和OZAKTAS〓在93年指出在梯度折射率,(GRIN)介质上可以定义一个2维分数FOURIER变换.换言之,GRIN介质中光波的传输过程就是一个分数FOURIER变换,其阶数正比于传播长度.他们的工作不仅为分数FOURIER变换赋于了物理意义,而且更为重要的是,还将鲜为人知的分数FOURIER变换介绍到光学领域.由于分数FOURIER变换与维格纳(WIGNER)变换〓,费涅尔(FRESNEL)变换〓,小波(WAVELET)变换〓,啁啾(CHIRP)变换〓以及光学矩阵〓等现有数学工具的密切关系,使分数FOURIER变换在自由空间光衍射〓,谐振腔分析〓,二元衍射光学,相位恢复〓,光线光学〓,图象处理〓以及光学断层扫描〓(OPTICAL TOMOGRAPHY)等研究方向得到应用.比如,用分数FOURIER变换来描述球面镜的谐振腔的光振荡,可以很好地解释模的再现〓.此外,还产生了一些由分数FOURIER变换带来的新的物理概念象分数相关和卷积〓,空间分数频率和频谱〓,以及分数谱城滤波〓,等.正如LOHMANN〓所讲,由于FOURIER变换对光学及信息处理领域如此重要,以至于与FOURIER变换有关的每个事件都可能是重要的.这句话充分体现在93年以来发表的大量关于分数FOURIER变换的论文〓.事实上,分数FOURIER变换已成为的一个年轻而十分活跃的研究分支. 我们的最初工作是对椭圆GRIN介质的研究〓.GRIN介质在分数FOURIER变换的研究当中起了关键的作用,由于它将聚焦和衍射两种效应结合在一起,从实现分数FOURIER变换的角度比透镜系统更好.对于椭圆GRIN介质,在两个平面方向上光传播可以视为两个不同阶数的L维分数FOURIER变换,称为连合分数FOURIER变换(JOINT-FRFT).由于各向同性的GRIN介质只是椭圆GRIN介质的特殊情况,相比之下椭圆GRIN介质更适合研究分数FOURIER变换.此外我们发现横向不对称性可能对信号再现有很大的影响,这将为光纤系统等提供有实际意义的结果. 从数学角度,以往的讨论还是沿用在直角坐标下NAMIAS给出的定义.KARASIK〓讨论了如何将1维变换向高维拓展的原则:高维变换的核是1维变换的核相乘.MENDOLVIC和OZAKTAS定义的级数表示〓(简称HG表示)是一个例证.值得指出的是,他们采用了不同方式定义分数变换:直接给出表达式,用半群的两个性质来验证是否为分数变换,而NAMIAS则是从FOURIER变换的本征方程出发,将本征值表示为指数函数形式,进一步得到分数FOURIER变换的本征方程而给出定义. 有关椭圆GRIN介质的研究提醒我们,各向同性的GRIN介质的旋转对称性并未得到充分考虑和利用.既然在直角坐标系下无法体现这种对称性,那么用平面极坐标表示的2维分数FOURIER变换应该能有所反映,我们的研究证实了这一点.对于GRIN介质,其本征函数在直角坐标系下为厄米高斯函数〓;在平面极坐标下径向部分为拉盖尔高斯函数,角度部分为指数函数.基于此,我们得到了2维分数FOURIER变换在极坐标下的级数表示(简称LG表示)〓.当输入函数存在旋转对称性时,化简后的表达式中只出现1个求和号,这就为计算和分析提供了方便.LG表示与HG表示虽然等价,但从本质上讲LG级数表示是2维的,它起源2维FOURIER变换;而HG表示则被认为是1维分数变换的推广.2维分数FOURIER变换的LG表示,可以用来分析球面镜谐振腔以及其它轴对称系统.总之,HG表示的应用范围是普适的,而LG表示将在轴对称系统中起到无法替代的作用. 如上所述,多维的问题往往存在某种对称性,如柱对称性和球对性.如果采用直角坐标来描述往往抓不住问题的本质,如能给出在其它坐标系下分数FOURIER变换的表示,其意义是明显的,在给出平面极坐标下的积分表示之后,进一步定义了在直角坐标系,柱坐标系和球坐标系的3维分数FOURIER变换的级数〓和积分表示.其中球坐标系的表示本质上是3维的,其本征函数是拉盖尔高斯--球谐函数.而柱坐标系下的表示可以分解为一个2维平面极坐标表示和一个1维直角坐表示的迭加,在论文第一部分我们给出1维到3维分数FOURIER变换的在几种坐标系下积分和级数的表示形式.对于高维分数FOURIER变换,情况会更复杂一些,但仍可以由我们的思路给出定义.比如,在N维空间球坐标下FOURIER变换的本征函数的角度部分是N维球谐函数〓,径向部分由GEGENBAUER多项式给出,这样就可得到级数表示. 在第二部分定义了两种特殊的HANKEL变换:面HANKEL变换(P-HT)和球HANKEL变换(S-HT).HANKEL变换的核是任意阶BESSEL函数〓,其中面HANKEL变换的核是整数阶BESSEL函数,这个变换在光学、电磁学中等具有柱对称系统的应用很广.而球HANKEL变换的核是半奇数阶BESSEL函数,它可进一步表示为球BESSEL函数.球HANKEL变换应用范围是具有球对称性的3维系统,以往得到的重视不够.众所周知,联系HANKEL变换和FOURIER变换的桥梁是对称性.具体地讲,面HANKEL变称可以视为在输入函数具有转动对称性的条件特殊的2维FOURIER变换;而球HANKEL变换则是在考虑球对称性时的特殊3维FOURIER变换.既然经典意义的FOURIER变换是分数FOURIER变换家族的一员,我们有理由推论,对称性同样是从分数FOURIER变换通往分数HANKEL变换的桥梁.第二部分的工作是围绕分数HANKEL变换的展开的.首先给出分数HANKEL变换的算子表示,从数学角度,算子得到后分数变换也就成立.接下来从本征方程入手分别给出面分数HANKEL变换(P-FRHT)〓和球分数HANKEL变换(S-FRHT)的级数表示. 利用第一部分中〓维平面极坐标和3维球坐标下的分数FOURIER变换的表示,分别引入对称性, 得到面分数HANKEL变换和球分数HANKEL变换的积分表示〓,这就避免去推导一些复杂的关系式.对GRIN介质的讨论说明同样可以在分数FOURIER变换的基础上给出分数FOURIER变换的级数表示,这就进一步说明上述有关对称性的推论是合理的.在讨论分数HANKEL变换的基本性质之后,证明PARSAVEL定理对分数HANKEL变换同样成立.分数HANKEL变换可以用第三部分的准离散HANKEL变换(QDHT)进行计算,在定性讨论它的光学实现后给出了一个实例. 第三部分有关离散HANKEL变换.FOURIER变换得到广泛应用的一个重要原因是基于离散FOURIER变换(DFT)的快速FOURIER变换(FFT)技术〓,它使FOURIER变换的计算速度大大提高.事实上,离散FOURIER变换不仅仅是一个算法,而是一个完整的理论框架,这表现在离散的PARSEVAL定理,离散卷积定理,离散相关定理以及抽样定理等都可以纳入这一框架.而对HANKEL变换,由于BESSEL函数的特殊性,缺乏一个类似离散FOURIER变换的理论框架.在已有的算法中最好的是SIEGMEN〓在77年提出的准快速HANKEL变换(QFHT),现在仍被采用〓.QFHT的思想是对原坐标进行对数变换,从而将HANKEL变换写成一个相关积分形式.这样做的好处在于可以利用FFT技术来计算.从速度讲这个算法非常快,但是每次计算的点的精度都不是很高.这是因为在零点附近的积分没有包括即所谓的低端修正(LEC)问题.对于迭计算过程,每次都修正显然不方便.围绕LEC有不少讨论,但都不能从根本上解决问题〓.此外QFHT计算中涉及的参数多达4个以上,为了保证计算效率往往需要小心调节这些参数.另一个有代表意义的算法〓是利用2维FOURIER变换来计算,虽然可以利用对称性减少计算量,终因抽样点过多造成效率不高.算法的关键是如何选取抽样点,上述两个算法都没有利用BESSEL的特性,这是效率不高的根本原因.准离散HANKEL变换(QDHT)〓的指导思想是充分模仿DFT,利用带限条件,将HANKEL变换用FOURIER-BESSEL级数表示〓.定义S因子(截断半径乘积)之后,数值实验发现S因子为特定值时,变换的矩阵可以最大程度自洽.此外,还首次推导出离散形式的PARSEVAL定理.并提出了抽样权重〓的概念:在抽样时不仅需要考虑在哪抽样,每个抽样点有多重,这个新思想有待进一步的说明,数值结果表明QDHT从整体上比QFHT效率高很多.因为QDHT存在解析表达式对函数进行恢复,因此只需计算少量点.QDHT是我们所知的计算零阶HANKEL变快的最好算法〓,随后将QDHT扩大到高阶HANKEL变换,导出了抽样定理〓,所以从这个角度,QDHT是目前唯一有关离散HAN 收起<<

  • 【作者】

    余力 

  • 【学科专业】

    半导体物理与半导体器件物理

  • 【授予学位】

    博士

  • 【授予单位】

    厦门大学

  • 【导师姓名】

    黄美纯

  • 【学位年度】

    1998

  • 【语种】

    chi

  • 【关键词】

    Fourier变换%Hankel变换%理论物理%分数Hankel变换%准离散Hankel变换